はじめに
結論から言うと、「年明け最初の性行為」を指す場合があります。
場合があるという言い方の通りで、「姫始め」という言葉は本来の意味とネットスラングとで大きく異なる意味を持つんですよね。
というわけで「本来の意味」と「ネットで下ネタ用語のように使われた時の意味」の２つを説明しました。
もともとの意味
本来の意味としては「正月にやわらかくたいた飯（=姫飯（ひめいい））を食べ始める日、を指すようです。
姫の飯と書いて『ひめいい』と読むので、現代文の試験や一般常識として覚えておくと役立つかもしれません。
ちなみに姫飯の対義語は 強飯（こわいい）。柔らかいとか硬いとか見ると、「柔らかい＝お粥」をイメージしますが、現代人が普通に食べているご飯は強飯と姫飯であれば姫飯に分類されるんだとか。
また、別の語源として一年で最初に馬に乗る日を「飛馬（ひめ）始め」と言っていたことがなまったという説もあります。古文とかに出てきそう。
エロそうなニュアンスでは
というわけで本題ですが、ネット界隈で使われるのは『正月以降にて男女の交わりを行うこと』、要は新年一発目のエッチを「姫はじめ」と言っています。
例えば
【悲報】娘に姫はじめを先越されました。
といったツイートがあれば、私よりも先に娘がエッチしていて羨ましい みたいな下世話な内容の意味になるわけですね。ちなみにネット等で使われるときは女性が主語で使います。これは姫という言葉が持つ意味を考慮すると当たり前かもしれませんが。
というかエロ動画のタイトルになっていたりもする今日このごろでは、そっち系の意味でしか見かけない気もします。言葉は難しい...
終わりに
このように下ネタで使われることがある今日この頃では（年の最後のエッチを姫納め と言ったりもするとか...）不用意にこの言葉は使いづらい。この手のシモネタ用語は
一見すると分かりづらいため、知らずに使うと変な空気になるのでお気をつけください。
